viernes, 24 de agosto de 2018

Ejercicios resueltos de distacia entre dos puntos del plano cartesiano

1.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-5, 3) y P2 (4, 3).
Solución: Observando las coordenadas, podemos darnos cuenta que sobre el eje “y” no se mueve para nada, por lo que se trata de una recta totalmente horizontal.
Si deseamos calcular la distancia, simplemente aplicamos nuestra fórmula:
\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=4-(-5)=4+5=9
Por lo que hay una distancia de 9 unidades.
2.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-4, 3) y P2 (3, 2)
Solución:
En este ejemplo es diferente, vemos que hay una distancia que tenemos que calcular aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos general.
Elegimos cualquier punto, puede ser el Punto 1, o puede ser el Punto 2. No importa a quién tomemos como inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos elegir al punto uno como inicial, y punto dos como final.
De nuestra fórmula:
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3-(-4) \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{(3+4)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{(7)}^{2}}+{{(1)}^{2}}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}
\displaystyle d\approx 7.071
3.- Encuentre la distancia entre los puntos siguientes, considere el par ordenado P1 (-2, 3) y P2 (3,3).
Solución: 
Al igual que el ejercicio anterior, para poder calcular la distancia entre los dos puntos (P1P2), es necesario aplicar la fórmula que implica el teorema de pitágoras.
Vamos a tomar para este ejemplo P1P2 (P1 como punto inicial y P2 como punto final).
Quedando así:
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3-(-2) \right)}^{2}}+{{\left( -3-3 \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3+2 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{(5)}^{2}}+36}
\displaystyle d=\sqrt{61}
\displaystyle d\approx 7.810
Intentemos subir un poco el nivel, y veamos otro ejemplo donde usemos un poco más el recurso del álgebra.
4.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A (1, -11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa.
Solución:
No podemos bosquejar la recta, porque nos hace falta la abscisa, y es justo lo que el problema nos pide, sin embargo podemos puntualizar nuestros datos, para ver el procedimiento que llevaremos a cabo, entonces.
d = 17
Punto A = (1, -11)
Punto B = (x2, 4)
Llamaremos a “x2” a la abscisa que no conocemos, y que vamos a encontrar. Si establecemos la fórmula de la distancia entre dos puntos, tendríamos lo siguiente:
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}
Vamos a despejar a “x2” de la fórmula. Si tienes problemas de despeje, puedes ir a nuestro artículo de Aprende a como despejar fórmulas
Entonces, quitamos la raíz cuadrada elevando ambos miembros al cuadrado
\displaystyle {{d}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}
Con esto eliminamos la raíz cuadrada del segundo miembro, ahora pasemos la cantidad que está sumando de “y2-y1” al primer miembro y ésta pasará a restar.
\displaystyle {{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}
Donde está nuestra incógnita “x2” todavía tenemos un binomio al cuadrado, así que procedemos a sacar la raíz en ambos miembros.
\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}
\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}
Perfecto, ahora solo despejamos a nuestra incógnita, pasando a sumar a “x1” al primer miembro.
\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}+{{x}_{1}}={{x}_{2}}
Invertimos la igualdad, y tenemos finalmente lo que deseamos.
\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}+{{x}_{1}}
Ahora simplemente sustituimos nuestros datos en lo que hemos despejado de la fórmula, y veremos el resultado.
\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{(4-(-11))}^{2}}}+1
\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{(4+11)}^{2}}}+1=\sqrt{289-{{(15)}^{2}}}+1
Y luego
\displaystyle {{x}_{2}}=\pm \sqrt{64}+1
Al extraer la raíz cuadrada de 64, recordemos que debemos tomar un valor + (positivo) y un – (negativo).
\displaystyle {{x}_{2}}=\pm 8+1
Por lo que tendríamos dos abscisas, una sería:
\displaystyle {{x}_{21}}=9
Y la otra
\displaystyle {{x}_{22}}=-7
Esto nos llevaría a tener 3 puntos en el plano cartesiano.
\displaystyle \begin{array}{l}{{P}_{A}}=(1,-11)\\{{P}_{B}}=(9,4)\\{{P}_{C}}=(-7,4)\end{array}
Sin duda éste problema es un problema más completo para comprender la importancia de las abscisas y ordenadas en un punto, y las formas en como podemos encontrarnos algunos problemas.
Publicadas por a la/s No hay comentarios.:

Publicadas por a la/s No hay comentarios.:
Ejercicios:

Problema 1
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

Solución:

Los lados son
a=3cm , b=4cmAplicando el teorema de Pitágoras,
teorema de pitágoras
Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.



Problema 2
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Solución:
Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. Sabemos que
h=2 , a=1Por Pitágoras, sabemos que
h2=a2+b2Sustituyendo los valores conocidos tenemos que
teorema de pitágoras
Ahora despejamos b en la ecuación
teorema de pitágoras
Hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo que, en teoría, debemos hacer. Pero como b representa la longitud de un cateto, no puede ser un número negativo.
Por tanto, el cateto mide
teorema de pitágoras
Podemos dejar la raíz cuadrada o aproximarla.

Problema 3
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden: raíz cuadrada de 2 y raíz cuadrada de 3.

Solución:
Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto).
Sabemos que
teorema de pitágoras
Por el teorema de Pitágoras, sabemos que
teorema de pitágoras
Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b), obteniendo:
teorema de pitágoras
Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por tanto,
teorema de pitágoras
Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida (mm, cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.

Problema 4 (dificultad muy alta)
Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden raíz cuadrada de 2, raíz cuadrada de 5 y su base 3.
problemas de pitagoras

Solución:
Para poder calcular la altura del triángulo, a, tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras).
Los dos triángulos son los siguientes:
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
La base del triángulo (que mide 3) se divide en dos (la base de cada triángulo). No sabemos cuánto mide cada base, pero sí que sabemos que
x+y=3Aplicamos Pitágoras al primer triángulo y obtenemos la ecuación:
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Notemos que no conocemos ninguno de los dos catetos.
Procediendo del mismo modo para el otro triángulo, obtenemos
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Es decir, tenemos las siguientes ecuaciones:
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Podemos aislar la y en la tercera ecuación, obteniendo
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
En la segunda ecuación tenemos una y, que sabemos que es 3 - x, así que sustituimos en ella:
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Como tenemos una resta al cuadrado, aplicamos la fórmula del binomio de Newton, que recordamos que es
binomio de Newton
Por tanto,
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Ahora despejamos a 2
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Recordemos que también teníamos la ecuación
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Despejamos también en ella a 2
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Es decir, las dos ecuaciones que tenemos son
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Y como a 2 = a 2, podemos igualar ambas expresiones obteniendo una ecuación de primer grado
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Sabiendo el valor de x podemos obtener el de y
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Ya sabemos cuánto mide cada base y podemos ahora calcular la altura.
La primera de las ecuaciones era
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Como sabemos que x = 1 tenemos que
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Y como a es la altura, no puede ser negativa. Por tanto, la altura del triángulo es
a=1


Problema 5
Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.
problemas de pitagoras

Solución:
Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos (determinados por sus diagonales):
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Recordamos que en los rombos todos los lados miden lo mismo, con lo que podemos trabajar con cualquiera de los triángulos obtenidos (todos son iguales).
Además, como hemos realizado una división simétrica, sabemos que los catetos miden 8 y 6 en cada triángulo.
Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras:
teorema de Pitagoras: problemas resueltos y test en línea
Por tanto, cada lado del rombo (o sea, cada hipotenusa) mide 10.
El perímetro es la suma de todos los lados. Como éstos son iguales, sólo tenemos que multiplicar por 4:
Perímetro = 4·10 = 40

Publicadas por a la/s No hay comentarios.:
Suscribirse a: Entradas (Atom)