Ejercicios:

Problema 1

Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

Solución:

Los lados son
$$a=3cm,b=4cm$$Aplicando el teorema de Pitágoras,

Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.



Problema 2
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Solución:

Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. Sabemos que
$$h=2,a=1$$Por Pitágoras, sabemos que
$$h^2=a^2+b^2$$Sustituyendo los valores conocidos tenemos que

Ahora despejamos b en la ecuación

Hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo que, en teoría, debemos hacer. Pero como b representa la longitud de un cateto, no puede ser un número negativo.
Por tanto, el cateto mide

Podemos dejar la raíz cuadrada o aproximarla.

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Problema 3
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden:  y .

Solución:

Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto).
Sabemos que

Por el teorema de Pitágoras, sabemos que

Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b), obteniendo:

Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por tanto,

Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida (mm, cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.

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Problema 4 (dificultad muy alta)
Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden ,  y su base 3.

Solución:

Para poder calcular la altura del triángulo, a, tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras).
Los dos triángulos son los siguientes:

La base del triángulo (que mide 3) se divide en dos (la base de cada triángulo). No sabemos cuánto mide cada base, pero sí que sabemos que
$$x+y=3$$Aplicamos Pitágoras al primer triángulo y obtenemos la ecuación:

Notemos que no conocemos ninguno de los dos catetos.
Procediendo del mismo modo para el otro triángulo, obtenemos

Es decir, tenemos las siguientes ecuaciones:

Podemos aislar la y en la tercera ecuación, obteniendo

En la segunda ecuación tenemos una y, que sabemos que es 3 - x, así que sustituimos en ella:

Como tenemos una resta al cuadrado, aplicamos la fórmula del binomio de Newton, que recordamos que es

Por tanto,

Ahora despejamos a ²

Recordemos que también teníamos la ecuación

Despejamos también en ella a ²

Es decir, las dos ecuaciones que tenemos son

Y como a ² = a ², podemos igualar ambas expresiones obteniendo una ecuación de primer grado

Sabiendo el valor de x podemos obtener el de y

Ya sabemos cuánto mide cada base y podemos ahora calcular la altura.
La primera de las ecuaciones era

Como sabemos que x = 1 tenemos que

Y como $a$ es la altura, no puede ser negativa. Por tanto, la altura del triángulo es
$$a=1$$

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Problema 5
Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.

Solución:

Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos (determinados por sus diagonales):

Recordamos que en los rombos todos los lados miden lo mismo, con lo que podemos trabajar con cualquiera de los triángulos obtenidos (todos son iguales).
Además, como hemos realizado una división simétrica, sabemos que los catetos miden 8 y 6 en cada triángulo.
Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras:

Por tanto, cada lado del rombo (o sea, cada hipotenusa) mide 10.
El perímetro es la suma de todos los lados. Como éstos son iguales, sólo tenemos que multiplicar por 4:

Perímetro = 4·10 = 40