viernes, 24 de agosto de 2018

Ejercicios resueltos de distacia entre dos puntos del plano cartesiano

1.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-5, 3) y P2 (4, 3).
Solución: Observando las coordenadas, podemos darnos cuenta que sobre el eje “y” no se mueve para nada, por lo que se trata de una recta totalmente horizontal.
Si deseamos calcular la distancia, simplemente aplicamos nuestra fórmula:
\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=4-(-5)=4+5=9
Por lo que hay una distancia de 9 unidades.
2.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-4, 3) y P2 (3, 2)
Solución:
En este ejemplo es diferente, vemos que hay una distancia que tenemos que calcular aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos general.
Elegimos cualquier punto, puede ser el Punto 1, o puede ser el Punto 2. No importa a quién tomemos como inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos elegir al punto uno como inicial, y punto dos como final.
De nuestra fórmula:
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3-(-4) \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{(3+4)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{(7)}^{2}}+{{(1)}^{2}}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}
\displaystyle d\approx 7.071
3.- Encuentre la distancia entre los puntos siguientes, considere el par ordenado P1 (-2, 3) y P2 (3,3).
Solución: 
Al igual que el ejercicio anterior, para poder calcular la distancia entre los dos puntos (P1P2), es necesario aplicar la fórmula que implica el teorema de pitágoras.
Vamos a tomar para este ejemplo P1P2 (P1 como punto inicial y P2 como punto final).
Quedando así:
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3-(-2) \right)}^{2}}+{{\left( -3-3 \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3+2 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}
\displaystyle d=\sqrt{{{(5)}^{2}}+36}
\displaystyle d=\sqrt{61}
\displaystyle d\approx 7.810
Intentemos subir un poco el nivel, y veamos otro ejemplo donde usemos un poco más el recurso del álgebra.
4.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A (1, -11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa.
Solución:
No podemos bosquejar la recta, porque nos hace falta la abscisa, y es justo lo que el problema nos pide, sin embargo podemos puntualizar nuestros datos, para ver el procedimiento que llevaremos a cabo, entonces.
d = 17
Punto A = (1, -11)
Punto B = (x2, 4)
Llamaremos a “x2” a la abscisa que no conocemos, y que vamos a encontrar. Si establecemos la fórmula de la distancia entre dos puntos, tendríamos lo siguiente:
\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}
Vamos a despejar a “x2” de la fórmula. Si tienes problemas de despeje, puedes ir a nuestro artículo de Aprende a como despejar fórmulas
Entonces, quitamos la raíz cuadrada elevando ambos miembros al cuadrado
\displaystyle {{d}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}
Con esto eliminamos la raíz cuadrada del segundo miembro, ahora pasemos la cantidad que está sumando de “y2-y1” al primer miembro y ésta pasará a restar.
\displaystyle {{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}
Donde está nuestra incógnita “x2” todavía tenemos un binomio al cuadrado, así que procedemos a sacar la raíz en ambos miembros.
\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}
\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}
Perfecto, ahora solo despejamos a nuestra incógnita, pasando a sumar a “x1” al primer miembro.
\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}+{{x}_{1}}={{x}_{2}}
Invertimos la igualdad, y tenemos finalmente lo que deseamos.
\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}+{{x}_{1}}
Ahora simplemente sustituimos nuestros datos en lo que hemos despejado de la fórmula, y veremos el resultado.
\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{(4-(-11))}^{2}}}+1
\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{(4+11)}^{2}}}+1=\sqrt{289-{{(15)}^{2}}}+1
Y luego
\displaystyle {{x}_{2}}=\pm \sqrt{64}+1
Al extraer la raíz cuadrada de 64, recordemos que debemos tomar un valor + (positivo) y un – (negativo).
\displaystyle {{x}_{2}}=\pm 8+1
Por lo que tendríamos dos abscisas, una sería:
\displaystyle {{x}_{21}}=9
Y la otra
\displaystyle {{x}_{22}}=-7
Esto nos llevaría a tener 3 puntos en el plano cartesiano.
\displaystyle \begin{array}{l}{{P}_{A}}=(1,-11)\\{{P}_{B}}=(9,4)\\{{P}_{C}}=(-7,4)\end{array}
Sin duda éste problema es un problema más completo para comprender la importancia de las abscisas y ordenadas en un punto, y las formas en como podemos encontrarnos algunos problemas.
Publicadas por a la/s

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